Aplicação da Modelagem Matemática em Telhados

Introdução

O modelo a seguir visa verificar o custo beneficio do telhado de uma casa, visando ver o qual o modelo de telha oferece o menor custo na obra, sendo os modelos investigados a telha portuguesa e americana respectivamente.

Problematização

A problematização é buscar funções que nos ajudem a resolver esta problemática da forma mais adequada e simples possível. Comparando o custo beneficio que cada uma oferece, visando baratear o custo final do telhado de uma determinada obra, esta sendo uma obra residencial ou comercial, no caso trabalharemos com uma obra residencial de 120m²­.

A= área do telhado em metros quadrados

A_T=área total

C=custo

C(t)= custo das telhas

C(r)= custo dos ripões.

C(tr)= custo das telhas e ripões

C(t_ob)= custo total da obra

E(t)= espaçamento de telhas

L_t=largura total do telhado em metros 

M= mão de obra

Q_T=Quantidade de telhas

Q(r)=quantidade de ripões

T_r= telhas e ripões

V_T  =valor da telha americana e portuguesa respectivamente

V_r= valor dos ripões em metros corridos

Modelo 1:

Modelo que define a quatidade de telhas portuguesas em uma área de 120 metros quadrados:

Q_T x A_t = 16x120=1920

Logo apos definimos o custo que esta quantidade de telhas portuguesas gera na futura obra em reais:

C(t)= Qt x A_t x C_t= 16x120x1,62= 3110,40

Com o mesmo modelo podemos definir a quantidade e o custo que a telha americana venha a ter na mesma obra, podendo desta forma ,mais adiante, fazer um comparativo entre as mesmas:                                                                                                   

Q_t x  A_t = 12 x120= 1440

Após o custo em reais:

C(t)= Q_t  x A_t  x C_t = 12 x 120 x 2,14= 3081,60

Do mesmo modo precisamos saber a quantidade e o custo que os ripões venham a ter na obra já que é uma peça indispensável para finalização antes da colocação das telhas, pois os mesmos são a base final de sustentação das telhas.

Esta questão pode ser resolvida por um modelo matemático simples, como veremos a seguir.

Q(r)= (L_t / E_t + 1) x 2

 Com este modelo basta substituir as variáveis pelo espaçamento das telhas que serão usadas, multiplicando-as pelo largura do telhado em questão, consideraremos que os ripões sejam de 6 metros de comprimento por 5 centímetros de largura, e este valores serão desprezados em relação ao calculo, terão efeito apenas quantitativo, para simplificação do problema. Os ripões são comercializados por metro corrido.

 Quantidade de ripões para telhas portuguesas:

Q(r)= (1000 / 33 +1) x 2 = 62

Quantidade de ripões  para telhas americanas:

Q(r)= (1000 / 38 + 1) x 2= 54

Função custo dos ripões que serão dados em reais:

C(r)= Q_r X V_r

Para telha portuguesa temos o seguinte custo:

C(r)= 62 X (3,50 x 6)= 217

Para telha americana temos o seguinte custo:

C(r)= 54 x(3,50 X 6)=189

De posse da quantidade de ripões e telhas a serem utilizados, e seus respectivos valores definidos pelas funções, podemos definir o custo total do modelo de telhado a ser utilizado ,bem como fazer um comparativo entre os mesmos através de outra função que reunirá todas as anteriores:

C(tr)= (Q_t x A_t x C_t­) + (Q_r x V_r)

Simplificando :

C(tr)= C(t) + C(r)

Substituindo pelos valores ja evidenciados temos.

Telha portuguesa, os valores em reais:

C(tr)= (16 x120 x 1,62 ) + (62 x3,50)

C(tr)= 3110,40 + 217 = 3327,40

Telha americana, os valores em reais:

C(tr)= (12 x 120 X 2,14) + ( 54 x 3,5)

C(tr) = 3081,60 + 189= 3270,60

Com os dados pré estabelecidos, temos então, como ter em mãos um comparativo entre os dois modelos de telhados, usando de uma função simplificada para comparar os mesmos, levando em consideração que a mão de obra dos modelos de telhados sejam iguais, e tenham um valor igual R$ 2500,00.

C(­t_ob)= C(tr) + M

Substituindo pelos respectivos valores teremos:

Telha portuguesa:

C(t_ob)=  3327,40 + 2500

C(t_ob)= 5827,40

Telha americana:

C(t_ob)= 3270,60 + 2500

C(t_ob)=5770,60

CONCLUSÃO:

Quando fazemos um comparativo entre os valores finais dos respctivos modelos vemos que a diferença de valores não é de grande importância, mesmo com a telha americana ficando com um preço menor. Em um telhado com um maior  numero de metros quadrados talvez isto possa ser relevante, mas ate uma metragem de 120 m² que costuma ser uma boa medida para uma casa residencial  , este valor é irrelevante, pois a diferença é de apenas R$56,80, não sendo de grande impacto no valor final do telhado, lembrando que não foram levados em conta outros valores como vigas, caibros e pregos, o que não seria de grande importância, pois os gastos com estes matérias para os dois modelos seriam os mesmos.